Probleem: a grens fu a tafra
Wan Martingale fu $10 na wan tafra fu $500. O furu tron a e broko, omeni a e lasi te a broko, en a e yepi fu opo a grens?
Siksi lasi wan baka tra e broko en: 1,8% ibri lontu, sowan 60% fu den sesi fu 100 drai. A broko e kostu $630. Te yu opo a grens go na $5.000, a broko e kon moro wan wan (0,25% ibri lontu) en moro bigi ($5.110). A fruwakti lasi ibri dala di yu wedi na 2,70% nanga iniwan grens.
A probleem
Wan preiman e wedi $10 tapu rediwediRediWedi fu wan tapu wan tapu den 18 redi nomru. Na Fransi: rouge.Leisi ala → en a e dobru baka ibri lasi, en a e bigin baka baka wan wini. A moro bigi grens fu a tafra na $500. (a) Omeni lasi wan baka tra e broko a progressiestrategieProgressieIniwan regel di e kenki a wedi-moni fu den bakapisi di pasa. Negatief progressie e hei en baka lasi, positief progressie baka wini.Leisi ala →? (b) San na a kansmatematikiKansA kans fu wan bakapisi, fu 0 te 1 noso fu 0% te 100%. Wan nomru: 1/37 = 2,70%.Leisi ala → ibri lontu? (c) San yu e lasi te a broko? (d) Fa wan grens fu $5.000 e kenki den piki? (e) Wan grens de di e meki a sisteem tyari wini?
Den piki (a)–(c)
Wedi-moni: 10, 20, 40, 80, 160, 320. A di fu seibi ben o de 640 > 500, so siksi lasi e broko en. (b) p(lasi) = 19/37 tapu redi; (19/37)⁶ = 0,0183, sowan 1,8% ibri lontu. Wan lontu e tan sowan tu drai gemiddeld, so wan sesi fu 100 drai abi sowan 50 lontu en p(wan broko noso moro) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, dati na 63 eenheidmoniEenheidA bigin-wedi-moni di wan sisteem noso wan preiman e wroko nanga en. Den e skrifi progressie ini eenheid so taki den e teri na iniwan tafra.Leisi ala → fu bigin, kontra den $10 di a lontu ben e pruberi fu wini.
Piki (d)
Nanga $5.000: wedi-moni te 2.560 mag; a di fu tin wedi-moni, 5.120, den no e teki. Neigi lasi e broko en: (19/37)⁹ ≈ 0,25% ibri lontu, sowan 11% fu den sesi fu 100 drai. Lasi te a broko: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. A preiman bai wan rampu di e pasa moro wan wan, ma a prijs na wan moro bigi rampu. Ini furu sesi a fruwakti kostu fu den broko na p × lasi ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 ibri lontu nanga a grens fu $500, en 0,0025 × 5.110 = $12,8 nanga $5.000; den tu de krosibei, ma den no de a srefi, en ibriwan na a fruwakti lasimatematikiFruwakti lasiA fruwakti warti leki a totaal moni di yu wedi; a gemiddelde moni di yu e lasi ini wan sesi noso ini wan pisi ten.Leisi ala → fu a lontu nanga den $10 di den lontu di e wini e tyari.
Piki (e)
No. Fruwakti lasi ibri lontu = (fruwakti heri wedi-moni ini a lontu) / 37, nanga iniwan grens, bika ibri wedi na −1/37 fu ensrefi. A grens e bosroiti soso fa a lasi e prati mindri furu pikin wini nanga wan tu bigi lasi. Sondro grens en nanga wan kapitali fu preimoniKapitali fu preiAla a moni di yu poti na wan sei fu prei. Fa fu tiri yu kapitali fu prei wani taki: yu e bosroiti omeni fu en yu e poti na riskio ibri wedi nanga ibri sesi.Leisi ala → sondro kaba, a progressie ben o “wroko”, ini a sensi taki a no ben o broko noiti, ma a ben o wedi tu wan moni sondro grens nanga wan fruwakti lasi fu 2,70% fu a moni sondro grens dati. A grens fu a tafratafraGrens fu a tafraA moro pikin nanga a moro bigi wedi di den e gi pasi. A moro bigi grens na san e tapu progressie di e dobru.Leisi ala → a no a sani di e tapu MartingalestrategieMartingaleProgressie di e meki a wedi dobru baka ibri lasi. Luku a pisi fu Strategie fu san a e du nanga san a no e du.Leisi ala → fu wroko. Na a teri.
Tu tru tafra
A eksempre fu Thorp na wan tafra fu $1 nanga wan moro bigi grens fu $1.000, pe wan preiman e howpu fu wini $30 gi wan neti-nyan wan dala wan leisi. Den wedi-moni 1, 2, 4 … 512 e gi tin wedi, so tin lasi wan baka tra e broko a progressie: wan leisi ini 785 lontu tapu wan Europa wiel (wan leisi ini 613 tapu wan Amerika wiel), nanga wan kostu fu $1.023. Ala dritenti lontu e wini 96,2% fu a ten. Den tra 3,8% e lasi sowan $1.000, en a gemiddeld bakapisi fu a neti na −$9,17, dati na precies 1/37 fu den $339 di den dritenti lontu e wedi gemiddeld. Wan tafra fu $5 nanga wan moro bigi grens fu $2.000 no difrenti: wedi-moni te $1.280 e gi neigi wedi, en a broko e kon wan leisi ini 403 lontu tapu wan Europa wiel (wan leisi ini 323 tapu wan Amerika wiel) en a e kostu $2.555.
Wan gudu preiman
Gi a progressie wan dipi kapitali na presi fu wan lagi grens: 1.000 eenheid, wan eenheid fu bigin nanga 1.000 drai tapu redi, en bigin baka nanga wan eenheid ibri leisi te a dobru di e kon moro bigi leki san tan. Wi simulere wan milyun neti so. Tapu wan Europa wiel 52% e kaba na fesi, 21% e lasi ala, en a gemiddeld bakapisi na −124 eenheid. Srefi ini wan prei sondro nulwielNulA wan-enkri grun olo di nowan wedi fu wan tapu wan, dosen noso kolom e kibri; a sani di e meki a fordeil fu a kasino. Sma e kari en tu: wan nul, 0.Leisi ala →, pe ibri wedi leti, soso sowan 60% ben o kaba na fesi. A gewoon neti na wan pikin wini; den neti di e kaba na nul e pai gi a gemiddelde.
A leri
Kasino e poti grens fu tapu den eigi variantiematematikiVariantieWan meti fu omeni witi den bakapisi e panya lontu a fruwakti warti. A hei gi wedi tapu wan nomru, a lagi gi wedi fu wan tapu wan.Leisi ala →, a no fu wini sisteem. Fu wini Martingale na wan sani di e kon nanga en di den breiti fu abi, en a teri ben o wini en awinsi fa. Wan preiman di e denki taki a grens na a probleem feni a bergi-sei pe yu e fadon, ma a e denki taki na a kakumbe di e saka safrisafri.
Formule
Aksi
A e meki yu tan libi te na wan moro hei grens, pe a broko e kon moro wan wan en moro bigi. A fruwakti lasi ibri dala no e kenki.
Wedi-moni 10, 30, 70, 150, 310: yu e naki a grens fu $500 baka feifi lasi, en a broko e kostu $570. A srefi 2,70%.
So taki wan preiman no kan wedi moro leki san a kasino kan pai makriki fu en reserve. Tiri fu variantie.
Prei nanga matematiki
Pruberi den srefi fosi. Ibri piki kibri; opo en te yu klari.
Wan MartingalestrategieMartingaleProgressie di e meki a wedi dobru baka ibri lasi. Luku a pisi fu Strategie fu san a e du nanga san a no e du.Leisi ala → e bigin nanga $100 tapu rediwediRediWedi fu wan tapu wan tapu den 18 redi nomru. Na Fransi: rouge.Leisi ala → en a e gi ensrefi moro furu n wedi ibri lontu: baka n lasi na wan rei a e gi abra en a e bigin baka. Skrifi a gemiddeld bakapisi fu wan lontu leki wan formule ini n, en teri en gi 5, 6 nanga 7 wedi tapu wan Europa-wiel.
Sori a piki
Piki A gemiddelde na 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 gi 5 wedi, −$17,35 gi 6 en −$20,52 gi 7. Te yu e gi moro wedi, a gemiddeld lontu e kon moro ogri, no moro bun.
Wan lontu e wini $100 boiti efu ala n wedi e lasi, di e pasa nanga kans qⁿ, pe q = 19/37. Te den ala e lasi, den wedi-moni 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ e kon makandra 100 × (2ⁿ − 1). So a gemiddelde na 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Dyaso 2q = 38/37, pikinso moro leki 1, so (2q)ⁿ e gro nanga n en a gemiddelde e saka: n = 5 e gi 1,1426 nanga −$14,26; n = 6 e gi 1,1735 nanga −$17,35; n = 7 e gi 1,2052 nanga −$20,52. Wan moro langa trapu e lasi moro pikin tron, ini 3,6%, 1,8% nanga 0,9% fu den lontu, ma ibri lasi na tu leisi so bigi, en moro moni e waka abra a tafra ibri lontu, na 2,70% fu ibri wedi.
Tapu wan Amerika-wiel 2q = 40/38 en den nomru na −$29,24, −$36,04 nanga −$43,20 (Taylor, 2021). Ini wan prei sondro nulwielNulA wan-enkri grun olo di nowan wedi fu wan tapu wan, dosen noso kolom e kibri; a sani di e meki a fordeil fu a kasino. Sma e kari en tu: wan nul, 0.Leisi ala → 2q = 1, en ibri lontu na gemiddeld krinkrin nul, awinsi omeni langa a trapu de.
A “grand Martingale” e meki a wedi-moni tu leisi moro bigi baka wan lasi en a e poti wan eenheidmoniEenheidA bigin-wedi-moni di wan sisteem noso wan preiman e wroko nanga en. Den e skrifi progressie ini eenheid so taki den e teri na iniwan tafra.Leisi ala → na tapu, so den wedi-moni e go 1, 3, 7, 15, 31 … Omeni yu de na fesi te a fosi wini e kon tapu wedi 1, 2, 3 noso k? Nanga wan eenheid fu $10 en wan moro bigi grens fu $500, omeni tron wan lontu e broko, en san wan lontu e kostu gemiddeld?
Sori a piki
Piki Wan wini tapu a di fu k wedi e libi yu k eenheid na fesi: +1, +2, +3 en so moro fara. Na $10 nanga $500 a lontu e broko baka feifi lasi, 3,57% fu den lontu, gi −$570. Gemiddeld wan lontu e lasi $2,32 fu $85,73 di yu wedi: 2,70%.
A di fu k wedi-moni na 2ᵏ − 1 eenheid: 1, 3, 7, 15, 31. Den fosi k − 1 wedi-moni e kon makandra 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Wan wini tapu a di fu k wedi e pai 2ᵏ − 1, so a lontu e kaba nanga (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k eenheid na fesi: wan eenheid moro gi ibri lasi fosi a wini.
Na $10 wan eenheid den wedi-moni na $10, $30, $70, $150 nanga $310; a tra wan, $630, de moro hei leki a moro bigi grens fu $500. Feifi lasi na wan rei, (19/37)⁵ = 3,57%, e kostu 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Gemiddeld: den wini e tyari $10 × k kon nanga kans (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 gi k = 1 te 5, en a broko e teki $570 nanga kans 3,57%; makandra −$2,32. A moni di yu e wedi na gemiddeld $85,73 ibri lontu, en 2,32/85,73 = 2,70%. A gewoon Martingale na a srefi tafra e broko baka siksi lasi, 1,83% fu den lontu, gi −$630, en a e lasi $1,74 fu $64,20 di yu wedi: 2,70% baka.
Wan preiman e plan wan Martingale tapu redi nanga wan fosi wedi fu $1 na wan tafra di en grens na $1.000, so tin wedi kan: $1, $2, $4 en so moro fara te $512. Omeni tron wan lontu e lasi ala tin, omeni langa dati e teki gemiddeld, en omeni tron wan neti fu 200 wedi e kaba so?
Sori a piki
Piki Wan lontu e lasi ala tin sowan wan leisi ini 784, en dati e kostu $1.023. Dati na sowan 1.600 wedi gemiddeld, en wan neti fu 200 wedi e naki a skotu sowan 11% fu a ten. Wan lontu e lasi ete gemiddeld $0,31 fu $11,31 di yu wedi: 2,70%.
Wan wedi tapu redi e lasi nanga kans 19/37, a nul ini en. Tin na wan rei: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, sowan 1 ini 784. Den wedi-moni 1 + 2 + 4 + … + 512 e kon makandra $1.023.
Wan lontu e teki gemiddeld 2,05 wedi, so 784 lontu e teki sowan 1.600 wedi. Te yu e teri drai fu drai, wan rei fu tin lasi e kon wan sei ini 200 wedi 11,3% fu a ten.
Na mindri den rampu a preiman e wini $1 ibri lontu: sowan $783 fosi a ogri wan, dan −$1.023, sowan −$240 abra a heri pisi. Ibri lontu: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Moni di yu wedi ibri lontu: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. En −0,31/11,31 = −2,70%.
Luku wan fosi wedi fu $10 na wan grens fu $500, siksi wedi: a skotu e kon wan leisi ini 55 lontu, en wan neti fu 200 wedi e miti en 84% fu a ten. Wan moro hei grens e meki a broko kon moro pikin tron en moro bigi, no moro kriboi.
Wan pikin lafu
Moro wan wan en moro bigi, nanga iniwan grens. Den tu maal makandra no e kenki.
Bron
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2e druk.